Question

甲乙兩地相距400千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/小時，已知該汽車每小時的運輸成本P（元）關(guān)于速度v（千米/小時）的函數(shù)關(guān)系是P=

1

19200

v⁴-

1

160

v³+15v，
（1）求全程運輸成本Q（元）關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式；
（2）為使全程運輸成本最少，汽車應(yīng)以多少速度行駛？并求此時運輸成本的最小值．

Answer 1

分析：（1）因為每小時的運輸成本p關(guān)于v的解析式知道，要求全程運輸成本只需要求出全程用的時間就行了，根據(jù)時間=

路程

速度

求得．
（2）求出Q的導(dǎo)數(shù)，令其為零，求出v1．討論在區(qū)間（0，100）上，（0，v1）時Q'＜0函數(shù)是減函數(shù)；（v1，100）時Q'＞0函數(shù)是增函數(shù)；得到此函數(shù)Q有極小值，即最小值．就是全程運輸成本有最小值．

解答：解：（1）Q=P•

400

v

=（

1

19200

v⁴-

1

160

v³+15v）•

400

v

=（

1

19200

v³-

1

160

v²+15）•400
=

v3

48

-

5

2

v²+6000（0＜v≤100）．
（2）Q′=

v2

16

-5v，
令Q′=0，則v=0（舍去）或v=80，
當0＜v＜80時，Q′＜0．
當80＜v≤100時，Q′＞0．
∴v=80時，全程運輸成本取得極小值，即最小值．
從而Q_min=Q（80）=

2000

3

元．

點評：考查學生列函數(shù)解析式并且知道導(dǎo)數(shù)等于零是函數(shù)取得極值的必要條件，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值．