Question

關于x的方程ax³-x²+x+1=0在（0，+∞）上有且僅有一個實數解，則a的取值范圍為________．

Answer 1

a≤0或a=
分析：原條件?a=--有且僅有一個正實數解，令=t（t≠0），t的符號與x的符號一致，則a=-t³-t²+t有且僅有一個正實數解，然后通過導數研究函數的單調性和極值，畫出函數圖象，結合圖象可求出a的取值范圍．
解答：關于實數x的方程ax³-x²+x+1=0的所有解中，僅有一個正數解?a=--有僅有一個正實數解．
令=t（t≠0），t的符號與x的符號一致，則a=-t³-t²+t有且僅有一個正實數解，
令f（t）=-t³-t²+t（t≠0），
f′（t）=-3t²-2t+1，由f′（t）=0得t=或t=-1．
又t∈（-1，）時，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（，+∞）時，f′（t）＜0．所以[f（t）]_極大值=f（）=．
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
結合三次函數圖象，如圖．
綜上所述，實數a的取值范圍為a≤0或a=．
故答案為：a≤0或a=．
點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數判斷，以及三次函數的性質，同時考查了數形結合與函數方程的思想，屬于中檔題．