Question

已知關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解上述不等式；
（2）如果關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先分類討論，根據(jù)x的范圍先去掉絕對(duì)值然后再根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法進(jìn)行求解．
（2）作出y=|x-3|+|x-4|與y=a的圖象，使|x-3|+|x-4|＜a解集為空集只須y=|x-3|+|x-4|圖象在y=a的圖象的上方，從而求出a的范圍；
解答：解：（1）原不等式|x-3|+|x-4|＜2
當(dāng)x＜3時(shí)，原不等式化為7-2x＜2，解得，∴
當(dāng)3≤x≤4時(shí)，原不等式化為1＜2，∴3≤x≤4
當(dāng)x＞4時(shí)，原不等式化為2x-7＜2，解得，∴
綜上，原不等式解集為；（5分）
（2）法一、作出y=|x-3|+|x-4|與y=a的圖象，
若使|x-3|+|x-4|＜a解集為空集只須y=|x-3|+|x-4|圖象在y=a的圖象的上方，
或y=a與y=1重合，∴a≤1
所以，a的范圍為（-∞，1]，（10分）
法二、：y=|x-3|+|x-4|=
當(dāng)x≥4時(shí)，y≥1
當(dāng)3≤x＜4時(shí)，y=1
當(dāng)x＜3時(shí)，y＞1
綜上y≥1，原問題等價(jià)為a≤[|x-3|+|x-4|]_min
∴a≤1（10分）
法三、：∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，
當(dāng)且僅當(dāng)（x-3）（x-4）≤0時(shí)，上式取等號(hào)
∴a≤1．
點(diǎn)評(píng)：此題考查絕對(duì)值不等式的解法，運(yùn)用了分類討論的思想，解題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，此類題目是高考常見的題型．