Question

給出下列命題：
（1）若函數(shù)f（x）=2x²+1，圖象上P（1，3）及鄰近上點(diǎn)Q（1+△x，3+△y），則

△y

△x

=4+2△x；
（2）加速度是動(dòng)點(diǎn)位移函數(shù)S（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)；
（3）

1

3

lim

h→0

f(a+3h)-f(a)

h

=f′(a)；
其中正確的命題有（　�。�

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率

△y

△x

；（2）根據(jù)a=

v

t

，得知加速度應(yīng)該是動(dòng)點(diǎn)速度函數(shù)V（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)；（3）

1

3

lim

n→∞

f(a+3h)-f(a)

h

=

lim

n→∞

f(a+3h)-f(a)

3h

=f′（a）．

解答：解：（1）∵f（x）=2x²+1，圖象上P（1，3）及鄰近上點(diǎn)Q（1+△x，3+△y），
∴△y=f（1+△x）-f（1）
=2+4△x+2（△x）²+1-2-1
=4△x+2（△x）²
∴

△y

△x

=4+2△x，故（1）正確；
（2）∵a=

v

t

，∴加速度應(yīng)該是動(dòng)點(diǎn)速度函數(shù)V（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，故（2）不正確；
（3）

1

3

lim

n→∞

f(a+3h)-f(a)

h

=

1

3

lim

n→∞

（3×

f(a+3h)-f(a)

3h

）
=

lim

n→∞

f(a+3h)-f(a)

3h

=f′（a），故（3）正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f（x）在x=x₀處的導(dǎo)數(shù)的方法：1．求函數(shù)的增量△y=f（x₀+△x）-f（x₀）；2．求平均變化率

△y

△x

；3．得到導(dǎo)數(shù)f′（x₀）=

lim

△x→0

△y

△x

．上述過程可以簡(jiǎn)化為：一差、二比、三極限．