Question

【題目】已知圓x2+y2=4上一定點(diǎn)A（2，0），B（1，1）為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；
（2）若∠PBQ=90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)AP中點(diǎn)為M（x，y），

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2x﹣2，2y）

∵P點(diǎn)在圓x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．

故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為（x﹣1）2+y2=1

（2）解：設(shè)PQ的中點(diǎn)為N（x，y），

在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ON⊥PQ，

所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，

所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．

故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．

【解析】（1）設(shè)出AP的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出P的坐標(biāo)，據(jù)P在圓上，將P坐標(biāo)代入圓方程，求出中點(diǎn)的軌跡方程．（2）利用直角三角形的中線等于斜邊長(zhǎng)的一半得到|PN|=|BN|，利用圓心與弦中點(diǎn)連線垂直弦，利用勾股定理得到
|OP|2=|ON|2+|PN|2 ， 利用兩點(diǎn)距離公式求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．