一個截面為拋物線形的舊河道,河口寬AB=4 m ,河深2 m ,現(xiàn)要將其截面改造為等腰梯形,要求河道深度不變,而且施工時只能挖土,不準(zhǔn)向河道填土,試求當(dāng)截面梯形的下底長為多少米時,才能使挖出的土最少?

解析：此題是一道實際應(yīng)用問題,要將截面改造為等腰梯形,又要使所挖出的土最少,只能沿著拋物線上某一點的切線去挖.?

如圖,以拋物線頂點為原點,AB中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,則A(-2,2),B(2,2).?

設(shè)拋物線方程:x2=2py(p＞0),將點B(2,2)代入得p=1 ,?

所以拋物線方程為x2=2y,即y=x2.?

設(shè)等腰梯形的腰與拋物線相切于點P(t, t2),?

則過點P的切線l的斜率為y′|x=t=t,?

所以一腰的方程為y-=t(x-t),?

即y=tx-.?

當(dāng)y=0時,x=;y=2時,x=+.?

所以截面面積S=,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=2時,“=”成立,此時下底邊長為.

答案：當(dāng)截面梯形的下底面邊長為m時,挖出的土最少.

練習(xí)冊系列答案
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一個截面為拋物線形的舊河道（如圖1），河口寬AB=4米，河深2米，現(xiàn)要將其截面改造為等腰梯形（如圖2），要求河道深度不變，而且施工時只能挖土，不準(zhǔn)向河道填土．
（1）建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線弧AB的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試求當(dāng)截面梯形的下底（較長的底邊）長為多少米時，才能使挖出的土最少？
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（1）建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線弧AB的標(biāo)準(zhǔn)方程；
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（1）建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線弧AB的標(biāo)準(zhǔn)方程；
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（2）試求當(dāng)截面梯形的下底（較長的底邊）長為多少米時，才能使挖出的土最少？

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