Question

已知函數(shù)f（x）=6lnx+x²-8x，．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若在區(qū)間[1，e]上至少存在一點(diǎn)x，使f（x）＞g（x）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）令，則．令-8x²+6x+p=0，知△=36+32p．由此進(jìn)行分類討論能求出實(shí)數(shù)p的取值范圍．
解答：解：（1）∵（3分）
∴x∈（1，3）時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）在[1，3]單調(diào)遞減，
x∈（0，1）或x∈（3，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]和[3，+∞）單調(diào)遞增（5分）
（2）令（6分）
∴（7分）
令-8x²+6x+p=0知△=36+32p，
（i）當(dāng)36+32p≤0即時(shí)，
△≤0，此時(shí)h'（x）≤0，
∴h（x）在[1，e]單調(diào)遞減，
∴h（x）_max=h（1）=-8-p＞0，
∴p＜-8（9分）
（ii）當(dāng)時(shí)，
方程（1）有兩根．（10分）
①若，即p≥8e²-6e時(shí)，
當(dāng)x∈[1，e]，h'（x）≥0，此時(shí)h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增．
∴，得p＜6e-8e²，此時(shí)無(wú)解．（11分）
②若，
即時(shí)，
當(dāng)x∈[1，e]，h'（n）＜0，
∴h（x）在[1，e]單調(diào)遞減．
∴h（x）_max=h（1）=-8-p＞0，
∴p＜-8此時(shí)無(wú)解．（12分）
③當(dāng)2＜p＜8e²-6e時(shí)，，
∴單調(diào)遞增，
h（x）單調(diào)遞減，
∴，此時(shí)無(wú)解（13分）
綜上知p＜-8時(shí)存在x使f（x）＞g（x）．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．