如圖,PDCE為矩形,ABCD為梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD=1,PD=
.
(1)若M為PA中點,求證:AC∥平面MDE;
(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值;
(3)在線段PC上是否存在一點Q(除去端點),使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為?
(1)詳見解析;(2);(3)
上存在
滿足條件.
【解析】
試題分析:(1)條件中出現了中點,需要證明的結論為線面平行,因此可以考慮構造三角形中位線證明線線平行,因此在矩形中,連結
交
于
,則點
為
的中點.則
為
的中位線,從而
,又
平面
平面
可知
平面
;(2)題中出現了線面垂直,因此可以考慮建立空間直角坐標系利用空間向量求解,可以
為原點,
所在的直線分別為
軸,建立空間直角坐標系,根據條件中數據,可先寫出點的坐標:
,
從而可以得到向量的坐標:,因此可求得平面
的法向量為
,設直線
與平面
所成角為
,利用
即可求得;
(3)假設存在滿足已知條件的,由
,得
,可分別求得平面
的法向量為
,再由平面
的法向量
,則由兩平面所成銳二面角大小為
可以得到關于
的方程:
,可解得
或
(舍去),方程有解,即說明
上存在
滿足條件.
試題解析:(1)如圖,在矩形中,連結
交
于
,則點
為
的中點.在
中,點
為
的中點,點
為
的中點,∴
,又∵
平面
平面
,∴
平面
;
(2)由,則
,由平面
平面
且平面
平面
,得
平面
,∴
,又矩形
中
以
為原點,
所在的直線分別為
軸,建立空間直角坐標系,則
,
∴,
設平面的法向量為
,
∵,∴可取
,設直線
與平面
所成角為
,
則;
(3)如圖,假設存在點滿足條件,則可設
,得
,設平面
的法向量為
,則由
得
,
由平面與平面
所成的銳二面角為
得:
,
∴或
(舍去),∴所求點
為
的靠近
的一個三等分點,即在
上存在
滿足條件.
考點:1.線面平行的證明;2.利用空間向量求線面角與二面角.
科目:高中數學 來源:2015屆山東省濟寧市高二5月質量檢測理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
設集合U=R,集合M=,P=
,則下列關系正確的是( )
A.M=P B.(CUM)P=
C.P
M D.M
P
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科目:高中數學 來源:2015屆山東省濟寧市高二5月質量檢測理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球,它們大小形狀完全相同,現需一個紅球,甲每次從中任取一個不放回,在他第一次拿到白球的條件下,第二次拿到紅球的概率( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源:2015屆山東省濟寧市高二5月質量檢測理科數學試卷(解析版) 題型:填空題
橢圓的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1,F2.若
成等比數列,則此橢圓的離心率為________.(離心率
)
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科目:高中數學 來源:2015屆山東省濟寧市高二5月質量檢測理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數,則”
”是”
在R上單調遞減”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
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