Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩焦點為F₁、F₂，長軸兩端點為A₁、A₂．
（1）P是橢圓上一點，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積；
（2）若橢圓上存在一點Q，使∠A₁QA₂=120°，求橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據橢圓的方程求得c，進而求得|F₁F₂|，設出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面積公式求解．
（2）由對稱性不妨設Q在x軸上方，坐標為（x₀，y₀），進而可表示出tanA₁QA₂整理出關于x₀和y₀的關系式，同時把Q點代入橢圓方程，表示出y₀進而根據y₀的范圍確定a和c的不等式關系，求得離心率的范圍．

解答：解：（1）∵|F₁F₂|=2c．
設|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則根據橢圓的定義可得：t₁+t₂=2a①，
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=60°，
所以根據余弦定理可得：t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=4c²②，
由①²-②得t₁•t₂=

1

3

（4a²-4c²），
所以：S△F1PF2=

1

2

t1t2•sin60°=

1

2

×

4

3

(a 2-c 2)×  

3

2

=

3

3

(a 2-c 2)．
所以△F₁PF₂的面積

3

3

( a 2-c 2)．
（2）由對稱性不防設Q在x軸上方，坐標為（x₀，y₀），
則tanA₁QA₂=

kQA1-kQA2

1+kQA1KQA2

=-

3

，即

y0 x0-a -  y0 x0+a

1+ y0 x0-a • y0 x0+a

=-

3

整理得

2ay0

x 2 0 -a2+y 20

=-

3

，①
∵Q在橢圓上，
∴

x

2 0

=a2(1-

y 2 0

b2

)，代入①得y₀=

2ab2

3 c2

，
∵0＜y₀≤b
∴0＜

2ab2

3 c2

≤b，化簡整理得3e⁴+4e²-4≥0，
解得

6

3

≤e＜1．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質，以及熟練掌握解三角形的有關知識，涉及了直線的斜率和基本不等式等知識，難度不大但計算較繁瑣，考查了學生的運算能力．