Question

18．下列四個命題中，正確的是②③④（寫出所有正確命題的序號）
①函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，則函數(shù)f（2x）的定義域為[0，4]；
②設(shè)集合A={-1，0，1}，B={-1，1}，則在A到B的所有映射中，偶函數(shù)共有4個；
③不存在實數(shù)a，使函數(shù)$f（x）={π^{a{x^2}+2ax+3}}$的值域為（0，1]
④函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-ax+3a）$在[2，+∞）上是減函數(shù)，則-4＜a≤4．

Answer 1

分析 ①，函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，0≤2x≤2，則函數(shù)f（2x）的定義域為[0，1]；
②，依題意可知依題意可知f（-1）=f（1），進而分值域中有1、2個元素進行討論．當(dāng)值域中只有一個元素時，此時滿足題意的映射有2種，當(dāng)值域中有兩個元素時，此時滿足題意的映射有2個；
③，若存在實數(shù)a，使函數(shù)$f（x）={π^{a{x^2}+2ax+3}}$的值域為（0，1]時，ax²+2ax+3的值域為（-∞，0]，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{4{a}^{2}-12a=0}\end{array}\right.$，a∈∅；
④，令t=x²-ax+3a，則由函數(shù)f（x）=g（t）=log$\frac{1}{2}$t 在區(qū)間[2，+∞）上為減函數(shù)，可得函數(shù)t在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)且t（2）＞0，解得a．

解答 解：對于①，函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，0≤2x≤2，則函數(shù)f（2x）的定義域為[0，1]，故錯；
對于②，依題意可知f（-1）=f（1），進而分值域中有1、2個元素進行討論．當(dāng)值域中只有一個元素時，此時滿足題意的映射有2種，當(dāng)值域中有兩個元素時，此時滿足題意的映射有2個，共有4個，故正確；
對于③，若存在實數(shù)a，使函數(shù)$f（x）={π^{a{x^2}+2ax+3}}$的值域為（0，1]時，ax²+2ax+3的值域為（-∞，0]，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{4{a}^{2}-12a=0}\end{array}\right.$，a∈∅，故正確；
對于④，函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-ax+3a）$在[2，+∞）上是減函數(shù)，則令t=x²-ax+3a，則由函數(shù)f（x）=g（t）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}t$ 在區(qū)間[2，+∞）上為減函數(shù)，
可得函數(shù)t在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)且t（2）＞0，解得-4＜a≤4，故正確．
故答案為：②③④

點評 本題考查了命題真假的判定，涉及到函數(shù)的概念及性質(zhì)，屬于中檔題．