Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinx•cosx+cos²x-sin²x-1（x∈R）
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用倍角公式、兩角和的正弦化簡(jiǎn)．
（1）直接利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由x得范圍，求得相位的范圍，然后可得f（x）的值域．

解答： 解：f（x）=2

3

sinx•cosx+cos²x-sin²x-1
=

3

sin2x+cos2x-1=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)-1
=2sin(2x+

π

6

)-1．
（1）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z；
（2）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
則f（x）∈[-2，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了倍角公式、兩角和的正弦，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了三角函數(shù)值域的求法，是基礎(chǔ)題．