Question

（本小題滿分14分）
已知函數.
（Ⅰ）若函數在定義域內為增函數，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）當時，試判斷與的大小關系，并證明你的結論；
(Ⅲ) 當且時，證明：.

Answer 1

（Ⅰ）的取值范圍為.（Ⅱ）當時，.
(Ⅲ)見解析.

（I）求函數.的導數，注意定義域，令導函數大于或等于0，分離參數，令一端配方求出最值即得的范圍；（II）由（Ⅰ）可知：時，，（當時，等號成立），令，則取兩邊分別相加整理即得結論；（III）由（2）知，當，令求導可得最小值，所以時，（當且僅當時，等號成立），令，則，所以,,因而可得,所以, 所以,然后不等式累加證明即可.
（Ⅰ），函數的定義域為.
.
依題意，在恒成立，在恒成立.
，
，∴的取值范圍為.   ……………………………………………………… （4分）
（Ⅱ）當時，.
證明：當時，欲證，只需證.
由（Ⅰ）可知：取，則，
而，（當時，等號成立）.
用代換，得，即，
∴.
在上式中分別取，并將同向不等式相加，得.
∴當時，.        ………………………………………… （9分）
(Ⅲ)由（Ⅱ）可知（時，等號成立）.
而當時：，∴當時，.
設，則，
∴在上遞減，在上遞增，
∴，即在時恒成立.
故當時，（當且僅當時，等號成立）.    …… ①
用代換得：（當且僅當時，等號成立）.     …… ②
當時，由①得，.
當時，由②得，用代換，得.
∴當時，，即.
在上式中分別取，并將同向不等式相加，得.
故當且時，.    …………………………………………………（14分）