Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的長(zhǎng)軸為AB，過(guò)點(diǎn)B的直線l與x軸垂直．直線（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率e=

3

2

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ，連接AQ延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）將直線方程整理得，解方程組求得直線所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，進(jìn)而求得b，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）代入橢圓方程，進(jìn)而表示出Q的坐標(biāo)，求得|OQ|推斷出Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上．根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出直線AQ的方程，令x=0，表示出M和N的坐標(biāo)，代入

NQ

•

OQ

求得結(jié)果為0，進(jìn)而可推知OQ⊥QN，推斷出直線QN與圓O相切．

解答：解：（1）將（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0
整理得（-x-2y+2）k+2x-y+1=0
解方程組

-x-2y+2=0 2x-y+1=0

得直線所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)（0，1），所以b=1．
由離心率e=

3

2

得a=2．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．

（2）設(shè)P（x₀，y₀），則

x02

4

+y02=1．
∵HP=PQ，∴Q（x₀，2y₀）．∴OQ=

x02+(2y02)

=2
∴Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上．
即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上．
又A（-2，0），
∴直線AQ的方程為y=

2y0

x0+2

(x+2)．
令x=2，得M(2，

8y0

x0+2

)．又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，
∴N(2，

4y0

x0+2

)．
∴

OQ

=(x0，2y0)，

NQ

=(x0-2，

2x0y0

x0+2

)．
∴

OQ

•

NQ

=x0(x0-2)+2y0•

2x0y0

x0+2

=x0(x0-2)+

4x0y02

x0+2

=x0(x0-2)+

x0(4-x02)

x0+2

=x₀（x₀-2）+x₀（2-x₀）=0．
∴

OQ

⊥

NQ

．∴直線QN與圓O相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了考生綜合分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力．