Question

若原點(diǎn)O和點(diǎn)F（-2，0）分別為雙曲線

x2

a2

-y²=1（a＞0）的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，求

OP

•

FP

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)和方程中的b求得a，則雙曲線的方程可得，設(shè)出點(diǎn)P，代入雙曲線方程求得縱坐標(biāo)的表達(dá)式，根據(jù)P，F(xiàn)，O的坐標(biāo)表示

OP

•

FP

，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值，則可得

OP

•

FP

的取值范圍．

解答： 解：設(shè)P（m，n），則

OP

•

FP

=（m，n）•（m+2，n）=m²+2m+n²．
∵F（-2，0）分別是雙曲線

x2

a2

-y²=1（a＞0）的左焦點(diǎn)，
∴a²+1=4，∴a²=3，
∴雙曲線方程為

x2

3

-y2=1，
∵點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，
∴

m2

3

-n2=1(m≥

3

)，
∴n²=

m2

3

-1，
∵

OP

•

FP

=（m，n）•（m+2，n）=m²+2m+n²，
∴m²+2m+n²=m²+2m+

m2

3

-1=

4

3

m2+2m-1
∵m≥

3

，
∴函數(shù)在[

3

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴m²+2m+n²≥3+2

3

，
∴

OP

•

FP

的取值范圍為[3+2

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程度以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力．