Question

【題目】（本題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系中，離心率為的橢圓 的左頂點為，過原點的直線（與坐標軸不重合）與橢圓交于兩點，直線分別與軸交于兩點．若直線斜率為時， ．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）試問以為直徑的圓是否經過定點（與直線的斜率無關）？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）（2）過定點．

【解析】試題分析：（1）因為離心率為，所以要確定橢圓標準方程，只需再確定一個獨立條件，即點P坐標：根據點斜率為且可求，所以，又，解得橢圓的標準方程為．

（2）用點P坐標表示出的坐標及以為直徑的圓的方程：設，則直線方程為： ，∴，直線方程為： ，∴，以為直徑的圓為，利用化簡得，所以動圓必過與的交點

試題解析：解：（1）設，

∵直線斜率為時， ，∴，∴３分

∴，∵，∴．

∴橢圓的標準方程為． ６分

（2）以為直徑的圓過定點．

設，則，且，即，

∵，∴直線方程為： ，∴，

直線方程為： ，∴， ９分

以為直徑的圓為

即， 12分

∵，∴，

令，，解得，

∴以為直徑的圓過定點． 16分