Question

如圖，已知PA，PB切⊙O于A，B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA，PB于點(diǎn)C，D，若⊙O的半徑為r，△PCD的周長為3r，則
求：tan∠APB．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：推理和證明

分析：連接OA、OB、OP，延長BO交PA的延長線于點(diǎn)F．利用切線求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=

3

2

r．利用Rt△BFP∽R(shí)T△OAF得出AF=

2

3

FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．

解答： 解：連接OA、OB、OP，延長BO交PA的延長線于點(diǎn)F．
∵PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E
∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，
∵△PCD的周長=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，
∴PA=PB=

3

2

r．
在Rt△PBF和Rt△OAF中，

∠FAO=∠FBP ∠OFA=∠PFB

，
∴Rt△PBF∽R(shí)t△OAF．
∴

AF

FB

=

AO

BP

=

r

3 2 r

=

2

3

，
∴AF=

2

3

FB，
在Rt△FBP中，
∵PF²-PB²=FB²
∴（PA+AF）²-PB²=FB²
∴（

3

2

r+

2

3

BF）²-（

3

2

）²=BF²，
解得BF=

18

5

r，
∴tan∠APB=

BF

PB

=

18 5 r

3 2 r

=

12

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形及三角函數(shù)的定義，解決本題的關(guān)鍵是切線與相似三角形相結(jié)合，找準(zhǔn)線段及角的關(guān)系．