Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求證：在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=x³圖象的下方；
（Ⅲ）求證：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導數(shù)，研究函數(shù)的極值點，通過比較與端點的大小從而確定出最大最小值．
（2）證明函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=x³圖象的下方，可采用構造輔助函數(shù)的辦法，用兩函數(shù)的差構造一個新的函數(shù)，求導分析輔助函數(shù)的單調(diào)性，得出在給定區(qū)間上函數(shù)值的符號，繼而證出結(jié)論．
（3）把要證明結(jié)論的左邊代式化簡，展開二項式，重新組合后運用不等式性質(zhì)．
解答：解：（Ⅰ）f（x）= ，當x∈[1，e]時，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，∴，．
（Ⅱ）設，則 ，
∵x＞1時F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，又F（1）=-＜0，故在[1，+∞）上，
F（x）＜0，即，∴函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=的圖象的下方．
（Ⅲ）∵x＞0，∴．
當n=1時，不等式顯然成立，當n≥2時，有+…+
=+…+
=+…+≥…+=2ⁿ-2．
∴[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．
點評：本題考查了運用導數(shù)求閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．構造函數(shù)，通過比較函數(shù)值與某一極值點的函數(shù)值的大小是證明一區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖象高低的有效方法．