Question

【題目】數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且對任意正整數(shù)n，都有 ；
（1）試證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）如果等比數(shù)列{an}共有2017項(xiàng)，其首項(xiàng)與公比均為2，在數(shù)列{an}的每相鄰兩項(xiàng)ai與ai+1之間插入i個(gè)（﹣1）ibi（i∈N*）后，得到一個(gè)新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}中所有項(xiàng)的和；
（3）如果存在n∈N* ， 使不等式 成立，若存在，求實(shí)數(shù)λ的范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：n=1時(shí)，b1=1；n≥2時(shí)，bn=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ =n．n=1時(shí)也成立．

∴bn=n為等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差都為1

（2）解：通過題意，易得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n，

當(dāng)m=2k﹣1（k≥2，k∈N*）時(shí)，

數(shù)列{cn}共有（2k﹣1）+1+2+…+（2k﹣2）=k（2k﹣1）項(xiàng)，

其所有項(xiàng)的和為Sk（2k﹣1）=（2+22+…+22k﹣1）+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣（2k﹣3）2+（2k﹣2）2]

=2（22k﹣1﹣1）+[3+7+…+（4k﹣5）]

=22k﹣2+（2k﹣1）（k﹣1）

= m（m﹣1）+2m+1﹣2．

∴m=2017時(shí)，數(shù)列{cn}中所有項(xiàng)的和=22018+2033134

（3）不等式 ，

即不等式（n+1） ≤（n+1）λ≤ ，

化為：f（n）= ≤λ≤1+ =g（n）．

∵f（n）≥f（3）=5+ ，g（n）≤g（1）=6．而n=1，2，3時(shí)不等式不成立．

n≥4時(shí)，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．因此不存在n∈N*，

使不等式 成立

【解析】（1）n=1時(shí)，b1=1；n≥2時(shí)，bn=Sn﹣Sn﹣1=n，即可證明．（2）通過題意，易得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n，
當(dāng)m=2k﹣1（k≥2，k∈N*）時(shí)，數(shù)列{cn}共有（2k﹣1）+1+2+…+（2k﹣2）=k（2k﹣1）項(xiàng)，
其所有項(xiàng)的和為Sk（2k﹣1）=（2+22+…+22k﹣1）+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣（2k﹣3）2+（2k﹣2）2]= m（m﹣1）+2m+1﹣2．取m=2017時(shí)，可得數(shù)列{cn}中所有項(xiàng)的和．（3）不等式 ，即不等式（n+1） ≤（n+1）λ≤ ，化為：f（n）= ≤λ≤1+ =g（n）．通過驗(yàn)證：n=1，2，3時(shí)不等式不成立．n≥4時(shí)，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．即可得出結(jié)論．