Question

在同一平面內(nèi)，邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B、C分別再兩條平行直線l₁，l₂上，另一個(gè)頂點(diǎn)A在直線l₁、l₂之間，AB與l₁的夾角為θ，0^o＜θ＜60^o．
（I）當(dāng)θ=45^o時(shí)，求點(diǎn)A到直線l₁的距離；
（II）若點(diǎn)A到直線l₁、l₂的距離分別為d₁、d₂，記d₁•d₂=f（θ），求f（θ）的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）過點(diǎn)A作直線l₁的垂線，垂足為M，然后解三角形，求點(diǎn)A到直線l₁的距離；
（II）過點(diǎn)A作直線l₂的垂線，垂足為N，點(diǎn)A到直線l₁、l₂的距離分別為d₁、d₂，表示出d₁、d₂，和d₁•d₂=f（θ），然后求f（θ）的取值范圍．

解答：解：（I）過點(diǎn)A作直線l₁的垂線，垂足為M，
在Rt△ABM中，sin45°=

|AM|

2

，
∴|AM|=2sin45°=2×

2

2

=

2

即：點(diǎn)A到直線l₁的距離為

2

．

（II）過點(diǎn)A作直線l₂的垂線，垂足為N，
∵AB與l₂的夾角為θ，∴AC與l₂的夾角為60°-θ，
在Rt△ABM，d₁=AM=2sinθ
在Rt△ACN，d₂=AN=2sin（60°-θ）
d₁•d₂═4sin（60°-θ）sinθ
=4(

3

2

cosθ-

1

2

sinθ)sinθ
=2(

3

2

sin2θ-

1-cos2θ

2

sin2θ)
=2sin（2θ+30°）-1
∵0°＜θ＜60°∴30°＜2θ+30°＜150°
∴

1

2

＜sin（2θ+30°）≤1，∴d₁d₂∈（0，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到直線的距離，正弦函數(shù)的定義域和值域，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．