Question

（2013•濰坊一模）已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形數(shù)陣，數(shù)陣中每一行的第一個(gè)數(shù)a₁，a₂，a₄，a₇，…構(gòu)成等差數(shù)列{b_n}，S_n是{b_n}的前n項(xiàng)和，且b₁=a₁=1，S₅=15．
（ I ）若數(shù)陣中從第三行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比相等，已知a₉=16，求a₅₀的值；
（Ⅱ）設(shè)Tn=

1

Sn+1

+

1

Sn+2

+…+

1

S2n

，求T_n．

Answer 1

分析：（ I ）依題意，可求得b_n=n，設(shè)從第三行起每行的公比都是q，（q＞0），由a₉=16可求得q，而a₅₀是數(shù)陣中第10行第5個(gè)數(shù)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得其值；
（Ⅱ）由于S_n=

n(n+1)

2

，利用裂項(xiàng)法可知

1

Sn

=2（

1

n

-

1

n+1

），再用累加法即可求得T_n．

解答：解：（ I ）∵{b_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，b₁=1，S₅=15，
∴S₅=5+10d=15，d=1，
∴b_n=1+（n-1）×1=n…2分
設(shè)從第三行起每行的公比都是q，且q＞0，a₉=b₄q²=4q²=16，故q=2…4分
∴1+2+3+…+9=45，
故a₅₀是數(shù)陣中第10行第5個(gè)數(shù)，
而a₅₀=b₁₀q⁴=10×2⁴=160…7分
（Ⅱ）∵S_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

…8分
∴T_n=

1

Sn+1

+

1

Sn+2

+…+

1

S2n

=

2

(n+1)(n+2)

+

2

(n+2)(n+3)

+…+

2

2n(2n+1)

=2（

1

n+1

-

1

n+2

+

1

n+2

-

1

n+3

+…+

1

2n

-

1

2n+1

）
=2（

1

n+1

-

1

2n+1

）
=

2n

(n+1)(2n+1)

…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，突出考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)法與累加法求和，屬于難題．