Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）解不等式．
（3）若不等式對任意n∈N^*都成立，求a的最大值．

Answer 1

解：（1），定義域{x|x＞0}．
∵，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）對當x≥1時，原不等式變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/156102.png' />①
由（1）結(jié)論，x≥1時，f（x）≤f（1）=0，即①成立
當0＜x≤1時，原不等式變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/138821.png' />，
即②
由（1）結(jié)論0＜x≤1時，f（x）≥f（1）=0，即②成立
綜上得，所求不等式的解集是{x|x＞0}
（3）結(jié)論：a的最大值為．
證明：∵n∈N^*，
∴，
∵，
∴，取，則x∈（0，1]，
∴，
設，
則，∴g（x）在x∈（0，1]上單調(diào)遞減，
∴當x=1時，．
∴a的最大值為．
分析：（1）利用導數(shù)即可求出其單調(diào)區(qū)間；
（2）通過對x討論，再利用（1）的結(jié)論即可；
（3）通過分離參數(shù)，通過換元求導，再利用（1）的結(jié)論即可得出．
點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分離參數(shù)法和換元法是解題的關鍵．