Question

 如圖，給定兩個長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為

2π

3

，點C是以O為圓心的圓弧

AB

上的一個動點，且

OC

=x

OA

+y

OB

（x，y∈

.

R-

）
（Ⅰ）設∠AOC=θ，寫出x，y關于θ的函數解析式并求定義域；
（Ⅱ）求x+y的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）以OC為對角線，作出如圖所示平行四邊形ODCE，由

OC

=x

OA

+y

OB

利用向量加法的平行四邊形法則，可得|

OD

|=x，|

OE

|=|

CD

|=y．然后在△OCD中利用正弦定理加以計算，可得x、y關于θ的函數解析式及其定義域；
（II）由（I）中求出x、y關于θ的函數解析式算出x+y關于θ的解析式，利用三角恒等變換公式化簡可得x+y=2sin（θ+

π

6

），再根據θ的取值范圍利用正弦函數的圖象與性質，可得x+y的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）過點C作OA、OB的平行線，分別交OA、OB或它們的延長線于點D、E，
則四邊形ODCE是平行四邊形，可得

OC

=

OD

+

OE

，
∵由題意知

OC

=x

OA

+y

OB

，∴x

OA

=

OD

，y

OB

=

OE

．
又∵|

OA

|=|

OB

|=1，∴|

OD

|=x，|

OE

|=|

CD

|=y．
在△ODC中，∠D=π-∠AOB=

π

3

，
根據正弦定理可得：

OC

sin∠D

=

CD

sin∠COD

=

OD

sin∠OCD

，
即

1

sin π 3

=

y

sinθ

=

x

sin( 2π 3 -θ)

∴x=

2 3

3

sin（

2π

3

-θ），y=

2 3

3

sinθ，它們的定義域為[0，

2π

3

]；
（Ⅱ）由（I）可得x+y=

2 3

3

sin（

2π

3

-θ）+

2 3

3

sinθ．
=

2 3

3

[sin（

2π

3

-θ）+sinθ]=

2 3

3

（sin

2π

3

cosθ-cos

2π

3

sinθ+sinθ）
=2（sinθcos

π

6

+cosθsin

π

6

）=2sin（θ+

π

6

）
∵θ+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，可得sin（θ+

π

6

）∈[

1

2

，1]．
∴x+y的取值范圍是[1，2]．

點評：本題著重考查了向量的線性運算法則、正弦定理及其應用、三角恒等變換與三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．