Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx（a＞0）．
（Ⅰ） 若a≠

1

2

，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當

1

2

＜a＜1時，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上有無零點？寫出推理過程．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）對函數(shù)f（x）進行求導，f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

，再分0＜a＜

1

2

和a＞

1

2

兩種情況討論．
（Ⅱ）結合著（Ⅰ）中的結論，得到f（x）在[1，

1

a

]上單調遞增，在[

1

a

，2]上單調遞減，從而判斷f(x)max=f(

1

a

)=-2-

1

2a

-2lna＜0，再進一步解答．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

（x＞0）．
即 f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0）．
∵

1

a

-2=

1-2a

a

，∵a＞0，a≠

1

2

∴0＜a＜

1

2

時，

1

a

＞2a＞

1

2

時，

1

a

＜2，由f'（x）＞0得x＞

1

a

或x＜2
由f'（x）＜0得2＜x＜

1

a

所以當0＜a＜

1

2

，f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，2]和[

1

a

，+∞)，單調遞減區(qū)間是[2，

1

a

]
同理當a＞

1

2

，f（x）的單調遞增區(qū)間是(0，

1

a

]和[2，+∞），單調遞減區(qū)間是[

1

a

，2]
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
當

1

2

＜a＜1時，f（x）在[1，

1

a

]上單調遞增，在[

1

a

，2]上單調遞減，
故f(x)max=f(

1

a

)=-2-

1

2a

-2lna．
由

1

2

＜a＜1可知-2-2lna＜0，f（x）_max＜0，
故在區(qū)間[1，2]f（x）＜0．恒成立．
故當a＞

1

2

時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上沒有零點．（注意：僅證明f（1）＜0，f（2）＜0就說明無零點不得分）

點評：本題是導數(shù)部分的�？純热�，需要注意的是，再含參數(shù)的函數(shù)式中，一般求單調區(qū)間時可能都會涉及到分類討論，討論時要根據(jù)導數(shù)式的特征做到“不重不漏”，導數(shù)為我們研究很多函數(shù)的性質提供了強有力的工具，也是高考中的�？贾�識點．