Question

雙曲線

x2

n

-y²=1（n＞1）的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，P在雙曲線上，且滿足|PF₁|+|PF₂|=2

n+2

，則△PF₁F₂的面積為

 

．

Answer 1

分析：令|PF₁|=x，|PF₂|=y，根據(jù)題設(shè)條件和雙曲線定義可得關(guān)于x和y的方程組，解x和y，進而可求得x²+y²，結(jié)果正好等于|F₁F₂|²，根據(jù)勾股定理可知△PF₁F₂為直角三角形，進而根據(jù)三角形面積公式求得答案．

解答：解：令|PF₁|=x，|PF₂|=y，
依題意可知

x+y=2 n+2 x-y=2 n

解得x=

n+2

+

n

，y=

n+2

-

n

，
∴x²+y²=（2

n+2

+

n

）²+（2

n+2

-

n

）²=4n+4
∵|F₁F₂|=2

n+1

∴|F₁F₂|²=4n+4
∴x²+y²|F₁F₂|²
∴△PF₁F₂為直角三角形
∴△PF₁F₂的面積為

1

2

xy=（2

n+2

+

n

）（

n+2

-

n

）=1
故答案為：1．

點評：本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．考查了學(xué)生對雙曲線定義的理解和靈活運用．