已知x∈R，向量
OA
=(acos2x， 1)， 
OB
=(2， 
3
asin2x-a)，f(x)=
OA
•
OB
，a≠0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）解析式，并求當a＞0時，f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[0，
π
2
]時，f（x）的最大值為5，求a的值．
（Ⅰ）f(x)=2acos2x+
3
asin2x-a（2分）
=
3
asin2x+acos2x（4分）
=2asin(2x+
π
6
)．（6分）
當2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)時，
即kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
(k∈Z)時．
f（x）為增函數(shù)，即f（x）的增區(qū)間為[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
](k∈Z)（9分）
（Ⅱ）f(x)=2asin(2x+
π
6
)，當x∈[0，
π
2
]時，2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]．
若a＞0，當2x+
π
6
=
π
2
時，f（x）最大值為2a=5，則a=
5
2
．（11分）
若a＜0，當2x+
π
6
=
7π
6
時，f（x）的最大值為-a=5，則a=-5．（13分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x∈R，向量
OA
=(acos2x， 1)， 
OB
=(2， 
3
asin2x-a)，f(x)=
OA
•
OB
，a≠0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）解析式，并求當a＞0時，f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[0，
π
2
]時，f（x）的最大值為5，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知單位向量
OA
和
OB
的夾角為90°，點C在以O為圓心的圓弧AB（含端點）上運動，若
OC
=x
OA
+y
OB
(x，y∈R)，則xy的取值范圍是
[0，
1
2
]
[0，
1
2
]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•大連二模）已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為-1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，且直線x-3y+4=0與向量
OA
+
OB
的平行．
（I）求橢圓的離心率；
（II）設M為橢圓上任意一點，點N（λ，μ），且滿足
OM
=λ(
OA
+
OB
)+μ
AB
(λ，μ∈R)，求N的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•成都三模）已知O為坐標原點，點E、F的坐標分別為（-
2
，0）、（
2
，0），點A、N滿足
AE
=2
3
，
ON
=
1
2
(
OA
+
OF
)，過點N且垂直于AF的直線交線段AE于點M，設點M的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）若軌跡C上存在兩點P和Q關于直線l：y=k（x+1）（k≠0）對稱，求k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設直線l與軌跡C交于不同的兩點R、S，對點B（1，0）和向量a=（-
3
，3k），求
BR
•
BS
-|a|2取最大值時直線l的方程．

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