Question

（2013•湛江二模）已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，2），B（1，3），C（2，5），l為BC邊上的高所在直線(xiàn)．
（1）求直線(xiàn)l的方程；
（2）直線(xiàn)l與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1相交于D、E兩點(diǎn)，△CDE是以C（2，5）為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求該橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）利用相互垂直的直線(xiàn)的斜率之間的關(guān)系即可得到k_l，再利用點(diǎn)斜式即可得出；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)可得底邊DE的中點(diǎn)F的坐標(biāo)，下面轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)弦的問(wèn)題，把直線(xiàn)l的方程與橢圓的方程聯(lián)立及利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答：解：（1）k_BC=2，因?yàn)閘為BC邊上的高所在直線(xiàn)，∴l(xiāng)⊥BC，∴k_l•k_BC=-1，解得kl=-

1

2

，
直線(xiàn)l的方程為：y-2=-

1

2

（x-3），即：x+2y-7=0
（2）過(guò)C作CF⊥DE，依題意，知F為DE中點(diǎn)，直線(xiàn)CF可求得為：2x-y+1=0．
聯(lián)立兩直線(xiàn)方程可求得：F（1，3），
由橢圓方程與直線(xiàn)ED聯(lián)立方程組，
可得：（a²+4b²）y²-28b²y+49b²-a²b²=0y1+y2=

28b2

a2+4b2

=6，化為b2=

3

2

a2，
又CF=

5

，所以，|DE|=2

5

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=2

5

，即

5(y2-y1)2

=2

5

，
所以，(y2+y1)2-4y1y2=4，即36-4

49b2-a2b2

a2+4b2

=4，解得：a2=

35

3

，b2=

35

2

，
所以，所求方程為：

x2

35 3

+

y2

35 2

=1

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、中點(diǎn)問(wèn)題、相互垂直的直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力．