Question

等比數(shù)列{x_n}各項均為正值，y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1，n∈N^*），已知y₄=17，y₇=11．
（1）求證：數(shù)列{y_n}是等差數(shù)列；
（2）數(shù)列{y_n}的前多少項的和為最大？最大值為多少？
（3）當n＞12時，要使x_n＞2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）只要證明y_n+1-y_n為常數(shù)即可
（2）由y₄=17，y₁₇=11，可求公差d，進而可求通項，然后由可求滿足條件的n
（3）由（2）知，當n＞12時，y_n＜0成立，結合已知可求x_n，進而可求a的范圍
解答：證明：（1）設等比數(shù)列{x_n}的公比為q，且q＞0．
∵y_n=2log_ax_n，
∴y_n+1-y_n=2log_a（）=2log_aq．
∴{y_n}為等差數(shù)列．
解：（2）設{y_n}的公差為d，由y₄=17，y₁₇=11，
可得==-2，y₁=23，
∴y_n=25-2n．
令可解得．
∵n∈N^*．
∴n=12．
∴{y_n}的前12項之和最大，最大值為S₁₂=144．
（3）由（2）知，當n＞12時，y_n＜0成立．
∵y_n=2log_ax_n，
∴x_n=
當a＞1，且n＞12時，有x_n=＜a=1．
這與題意不符，故0＜a＜1．
由0＜a＜1，且n＞12，有x_n=≥＞2．
故所求a的取值范圍為0＜a＜．
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的性質、通項公式及和的最值的求解，