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    △ABC中,內(nèi)角為A,B,C,所對的三邊分別是a,b,c,已知b2=ac,cosB=
    3
    4

    (1)求
    1
    tanA
    +
    1
    tanC
    的值;
    (2)設(shè)
    BA
    • 
    BC
    =
    3
    2
    ,求a+c的值.
    分析:(1)利用正弦定理化簡b2=ac,得到一個(gè)關(guān)系式,再由cosB的值及B為三角形的內(nèi)角,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值,根據(jù)誘導(dǎo)公式得到sin(A+C)=sinB,然后將所求的式子兩分母分別利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦,整理后,將sin(A+C)=sinB及得到的關(guān)系式代入,得到關(guān)于sinB的關(guān)系式,再將sinB的值代入即可求出值;
    (2)由a,c及cosB的值,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡已知的等式,得到ac的值,進(jìn)而由b2=ac確定出b2的值,再利用余弦定理表示出cosB,將cosB,b2與ac的值代入,利用完全平方公式變形后再將ac的值代入,即可求出a+c的值.
    解答:解:(1)∵b2=ac,
    ∴由正弦定理得:sin2B=sinAsinC,
    又cosB=
    3
    4
    ,且B為三角形的內(nèi)角,
    ∴sinB=
    1-cos2B
    =
    7
    4
    ,又sin(A+C)=sinB,
    1
    tanA
    +
    1
    tanC
    =
    cosA
    sinA
    +
    cosC
    sinC
    =
    sinCcosA+cosCsinA
    sinAsinC
    =
    sin(A+C)
    sinAsinC
    =
    sinB
    sin2B
    =
    1
    sinB
    =
    4
    7
    7

    (2)∵
    BA
    BC
    =
    3
    2
    ,cosB=
    3
    4

    ∴ac•cosB=
    3
    4
    ac=
    3
    2
    ,即ac=2,
    ∴b2=ac=2,
    ∴cosB=
    a2+c2-b2
    2ac
    =
    a2+c2-2
    4
    =
    (a+c)2-2ac-2
    4
    =
    (a+c)2-6
    4
    =
    3
    4

    ∴(a+c)2=9,
    則a+c=3.
    點(diǎn)評:此題考查了正弦、余弦定理,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,誘導(dǎo)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,以及完全平方公式的運(yùn)用,熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵.
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    3
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    1
    tanA
    +
    1
    tanC
    的值;
    (2)設(shè)
    BA
    • 
    BC
    =
    3
    2
    ,求a+c的值.

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