Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，

    BP＝BC，E為PC的中點(diǎn)．

   （1）求證：AP∥平面BDE；

   （2）求證：BE⊥平面PAC．

 

Answer 1

 證：（1）設(shè)AC∩BD＝O，連結(jié)OE．

因?yàn)锳BCD為矩形，所以O是AC的中點(diǎn)．

因?yàn)?i>E是PC中點(diǎn)，所以OE∥AP．        …………………………4分

因?yàn)?i>AP平面BDE，OE平面BDE，

所以AP∥平面BDE．                 ………………………………6分

（2）因?yàn)槠矫?i>PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

所以BC⊥平面PAB．                        ………………………8分

因?yàn)?i>AP平面PAB，所以BC⊥PA．

因?yàn)?i>PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，

所以PA⊥平面PBC．                        …………………12分

因?yàn)?i>BE平面PBC，所以PA⊥BE．

因?yàn)?i>BP＝PC，且E為PC中點(diǎn)，所以BE⊥PC．

因?yàn)?i>PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，

所以BE⊥平面PAC．                      ………………………14分