Question

已知函數(shù)f（x）=ax-

a

x

-2lnx（a∈R）．
（1）當a＞0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若

2e

e2+1

＜a＜1，設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個極值點，且x₁＜1＜x₂，記m、n分別為f（x）的極大值和極小值，令z=m-n，求實數(shù)z的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）a=

2x1

x12+1

且x₁x₂=1，由

2e

e2+1

＜a＜1，得

1

e

＜x₁＜1，z=m-n=2a（x₁-

1

x1

）-4lnx₁=4（

x12-1

x12+1

-

1

2

lnx12）（

1

e2

＜x12＜1），換元，構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性，即可求實數(shù)z的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax-

a

x

-2lnx，
∴f′（x）=

ax2-2x+a

x2

，
令g（x）=ax²-2x+a（a＞0），△=4（1-a²）
①a≥1時，△≤0，g（x）≥0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）‘
②0＜a＜1時，△＞0，令g（x）=0，則x₁=

1- 1-a2

a

，x₂=

1+ 1-a2

a

，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，x₁），（x₂，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（x₁，x₂）；
（2）由題意，ax₁²-2x₁+a=0，ax₂²-2x₂+a=0，
∴a=

2x1

x12+1

且x₁x₂=1
由

2e

e2+1

＜a＜1，得

1

e

＜x₁＜1，
z=m-n=2a（x₁-

1

x1

）-4lnx₁=4（

x12-1

x12+1

-

1

2

lnx12）（

1

e2

＜x12＜1）．
令t=x12，則

1

e2

＜t＜1，∴h（t）=

t-1

t+1

-

1

2

lnt，
∴h′（t）=

-(t-1)2

2t(t+1)2

＜0，
∴h（t）在（

1

e2

，1）是減函數(shù)，
∴h（1）＜h（t）＜h（

1

e2

），
∴0＜h（t）＜

2

e2+1

，
∴實數(shù)z的取值范圍為（0，

8

e2+1

）．

點評：本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)的應用：函數(shù)的導數(shù)在求解函數(shù)的極值、函數(shù)的單調(diào)性，要注意分類討論思想及構(gòu)造轉(zhuǎn)化思想的應用．