已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且滿足
AF
=
2
3
AB
，
AE
=
3
4
AC
，
AD
=λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
）（λ∈R），
DE
•
DA
=
DE
•
DC
，
DF
=μ（
BD
sinB
|
BD
|
+
AD
cosB
|
AD
|
）（μ∈R）．則
|
EF
|
|
BC
|
=（　�。�
A、
1
3
B、
1
2
C、
3
3
D、
2
2
考點：平面向量的綜合題,平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：如圖所示，由
AD
=λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
），可得
BC
•
AD
=0，得到BC⊥AD．由
DE
•
DA
=
DE
•
DC
，可得
DE
•(
DA
-
DC
)=
DE
•
CA
=0，得到DE⊥CA．由
DF
=μ（
BD
sinB
|
BD
|
+
AD
cosB
|
AD
|
），可得
BA
•
DF
=0，即BA⊥DF．連接EF．可得A，E，D，F(xiàn)四點共圓，因此∠AEF=∠ADF．又∠B=∠ADF，可得△AEF∽△ABC．又
AF
=
2
3
AB
，
AE
=
3
4
AC
，可得AC=
2
2
3
AB．即可得出
|
EF
|
|
BC
|
．
解答： 解：如圖所示，
∵
AD
=λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
），
∴
BC
•
AD
=λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
）•
BC
=λ(
-|
AB
||
BC
|cosB
|
AB
|cosB
+
|
AC
||
BC
|cosC
|
AC
|cosC
)=0，
∴
BC
⊥
AD
，即BC⊥AD．
∵
DE
•
DA
=
DE
•
DC
，∴
DE
•(
DA
-
DC
)=
DE
•
CA
=0，∴
DE
⊥
CA
，即DE⊥CA．
∵
DF
=μ（
BD
sinB
|
BD
|
+
AD
cosB
|
AD
|
），
∴
BA
•
DF
=μ（
BD
sinB
|
BD
|
+
AD
cosB
|
AD
|
）•
BA
=μ(
|
BD
||
BA
|cosBsinB
|
BD
|
+
-|
AD
||
BA
|sinBcosB
|
AD
|
)=0，
∴
BA
⊥
DF
，即BA⊥DF．
連接EF．
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴A，E，D，F(xiàn)四點共圓，∴∠AEF=∠ADF．
又AD⊥BC，∴∠B=∠ADF，
∴∠B=∠AEF．
∴△AEF∽△ABC．
∴
EF
BC
=
AE
AB
=
AF
AC
．
∵
AF
=
2
3
AB
，
AE
=
3
4
AC
，
∴
3
4
AC
AB
=
2
3
AB
AC
，解得AC=
2
2
3
AB．
∴
EF
BC
=
3
4
×
2
2
3
AB
AB
=
2
2
．
∴
|
EF
|
|
BC
|
=
2
2
．
故選：D．
點評：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、四點共圓的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、向量共線定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
(1+tanx)•cos2x
cos2x+sin2x
的定義域為（0，
π
4
），則函數(shù)f（x）的值域為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成
 
部分．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線x2=4y的準線l與y軸交于點P，若直線l繞點P以每秒
π
12
弧度的角速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)t秒鐘后，恰與拋物線第一次相切，則t=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b是正實數(shù)，n是正整數(shù)，則函數(shù)f(x)=
(x2n-a)(b-x2n)
(x2n+a)(b+x2n)
的最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

“已知實數(shù)x，y滿足（x-1）2+（y-1）2=1，求
x2+y2
的最大值”時，可理解為在以點（1，1）為圓心，以1為半徑的圓上找一點，使它到原點距離最遠問題，據(jù)此類比到空間，試分析：已知實數(shù)x，y，z滿足（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2=1，求
x2+y2+z2
的最大值是（　　）
A、
2
+1
B、
2
-1
C、
3
+1
D、
3
-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示程序框圖，輸出的x值為（　�。�
A、11B、13C、15D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

四棱錐P-ABCD的頂點P在底面ABCD的投影恰好是點A，三視圖如圖所示，則此四棱錐的表面積為（　�。�
A、2
B、3
C、2+
2
D、3+
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

口袋中有紅、白、黃、黑共四個小球，其質(zhì)量相等、大小相同．從中有放回的先后各取一個球．
（1）寫出所有不同的基本事件；
（2）求取出兩球中含有白球的概率．

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同步練習(xí)冊答案