【題目】已知,
.
(1)求曲線在點
處的切線方程;
(2)當(dāng)時,若關(guān)于
的方程
存在兩個正實數(shù)根
,證明:
且
.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再計算出,
,即可求出切線方程;
(2)由存在兩個正實數(shù)根
,整理得方程
存在兩個正實數(shù)根
.令
利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、最值,因為
有兩個零點,即
,得
.
因為實數(shù),
是
的兩個根,所以
,從而
.令
,
,則
,變形整理得
.要證
,則只需證
,即只要證
,
再構(gòu)造函數(shù)即可證明.
(1)解:∵,
∴,
,
∴曲線在點
處的切線方程為
.
(2)證明:由存在兩個正實數(shù)根
,
整理得方程存在兩個正實數(shù)根
.
由,知
,
令,則
,
當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞減.
所以.
因為有兩個零點,即
,得
.
因為實數(shù),
是
的兩個根,
所以,從而
.
令,
,則
,變形整理得
.
要證,則只需證
,即只要證
,
結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象可知,只需要證
,
兩點連線的斜率要比
,
兩點連線的斜率小即可.
因為,所以只要證
,整理得
.
令,則
,
所以在
上單調(diào)遞減,即
,
所以成立,故
成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十九大以來,某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求,帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康。經(jīng)過不懈的奮力拼搏,新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進步,農(nóng)民年收入也逐年增加。為了更好的制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收人力爭早日脫貧的工作計劃,該地扶貧辦統(tǒng)計了2018年位農(nóng)民的年收人并制成如下頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計位農(nóng)民的年平均收入
(單位:千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示);
(2)由頻率分布直方圖,可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入服從正態(tài)分布
,其中
近似為年平均收入
,
近似為樣本方差
,經(jīng)計算得
.利用該正態(tài)分布,求:
(i)在2019年脫貧攻堅工作中,若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標準,則最低年收入大約為多少千元?
(ii)為了調(diào)研“精準扶貧,不落一人”的政策要求落實情況,扶貧辦隨機走訪了位農(nóng)民。若每個農(nóng)民的年收人相互獨立,問:這
位農(nóng)民中的年收入不少于
千元的人數(shù)最有可能是多少?
附:參考數(shù)據(jù)與公式
則①;②
;③
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,(i)求曲線
在點
處的切線方程;
(ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)拋物線與
的公共點
的橫坐標為
,過
且與
相切的直線交
于另一點
,過
且與
相切的直線交
于另一點
,記
為
的面積.
(Ⅰ)求的值(用
表示);
(Ⅱ)若,求
的取值范圍.
注:若直線與拋物線有且只有一個公共點,且與拋物線的對稱軸不平行也不重合,則稱該直線與拋物線相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在古裝電視劇《知否》中,甲乙兩人進行一種投壺比賽,比賽投中得分情況分“有初”“貫耳”“散射”“雙耳”“依竿”五種,其中“有初”算“兩籌”,“貫耳”算“四籌”,“散射”算“五籌”,“雙耳”算“六籌”,“依竿”算“十籌”,三場比賽得籌數(shù)最多者獲勝.假設(shè)甲投中“有初”的概率為,投中“貫耳”的概率為
,投中“散射”的概率為
,投中“雙耳”的概率為
,投中“依竿”的概率為
,乙的投擲水平與甲相同,且甲乙投擲相互獨立.比賽第一場,兩人平局;第二場,甲投了個“貫耳”,乙投了個“雙耳”,則三場比賽結(jié)束時,甲獲勝的概率為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點分別為
,離心率為
,
是橢圓
上的一個動點,且
面積的最大值為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線斜率為
,且
與橢圓
的另一個交點為
,是否存在點
,使得
若存在,求
的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,
是邊長為2的菱形,且
,
是矩形,
,且平面
平面
,
點在線段
上移動(
不與
重合),
是
的中點.
(1)當(dāng)四面體的外接球的表面積為
時,證明:
.平面
(2)當(dāng)四面體的體積最大時,求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北方的冬天戶外冰天雪地,若水管裸露在外,則管內(nèi)的水就會結(jié)冰從而凍裂水管,給用戶生活帶來不便.每年冬天來臨前,工作人員就會給裸露在外的水管“保暖”:在水管外面包裹保溫帶,用一條保溫帶盤旋而上一次包裹到位.某工作人員采用四層包裹法(除水管兩端外包裹水管的保溫帶都是四層):如圖1所示是相鄰四層保溫帶的下邊緣輪廓線,相鄰兩條輪廓線的間距是帶寬的四分之一.設(shè)水管的直徑與保溫帶的寬度都為4cm.在圖2水管的側(cè)面展開圖中,此保溫帶的輪廓線與水管母線所成的角的余弦值是( )(保溫帶厚度忽略不計)
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,
,
,
分別為內(nèi)角
,
,
的對邊,且滿
.
(1)求的大小;
(2)再在①,②
,③
這三個條件中,選出兩個使
唯一確定的條件補充在下面的問題中,并解答問題.若________,________,求
的面積.
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