Question

【題目】如圖，已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)、分別作兩條平行直線、交橢圓于點(diǎn)、、、．

（1）求證：；

（2）求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）的最大值為6．

【解析】

試題分析：（1）圓錐曲線中證明兩線段相等，一般要用解析法，計(jì)算這兩條線段的長(zhǎng)度得相等結(jié)論，直線斜率不可能為0，因此可設(shè)設(shè)，，：．所代入橢圓方程得出的一元二次方程，從而得，由圓錐曲線上的弦長(zhǎng)公式得，同理方程為，并設(shè)，，最后計(jì)算出，它們相等；（2）原點(diǎn)實(shí)質(zhì)上是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，而，從而可得，設(shè)，因此只要求得的最小值，即可得結(jié)論，此最小值可用函數(shù)的單調(diào)性得出（可先用基本不等式求解，發(fā)現(xiàn)基本不等式中等號(hào)不能取到）．

試題解析：（1）設(shè)，，：．

聯(lián)立得．

∴，．

設(shè)，，由，得：．

聯(lián)立得．

∴，．

∴，．

∴．

而，，

∴．

（2）由（1）知四邊形為平行四邊形，，且．

∴

．

設(shè)（），，

∴在上單調(diào)遞增，

∴．

故的最大值為6，此時(shí)．