Question

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E為A₁B₁的中點(diǎn)在．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
（II）求二面角D-BE-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由題意，因?yàn)槭情L(zhǎng)方體所以AE⊥BC，又有AA₁=AD=a，AB=2a，E為A₁B₁的中點(diǎn)，可以計(jì)算出AE⊥EB，進(jìn)而證得線面垂直；
（II）有長(zhǎng)方體的特點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的知識(shí)求解出二面角的大�。�

解答：解：（Ⅰ）證明：∵在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC⊥側(cè)面ABB₁A₁，AE?側(cè)面ABB₁A₁，
∴AE⊥BC，（2分）
在△ABE中，AB=2a，AE=BE=

2

a，
則有AB²=AE²+BE²，∴∠AEB=90°，∴AE⊥EB，
又BC∩EB=B∴AE⊥平面BCE（6分）

（II）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系D-xyz．
則D（0，0，0），B（2a，a，0），E（a，a，a，），A（0，a，0），

AE

=(a，0，a)，

DB

=(2a，a，0)，

DE

=（a，a，a），
設(shè)平面BDE的法向量為

n

=(x，y，z)，則由

n

•

DB

=0，

n

•

DE

=0，
得，

2ax+ay=0 ax+ay+az=0

，
令x=1，得

n

=(1，-2，1)，
又由（I）AE⊥平面BCE，

AE

=（a，0，a）為平面BCE的法向量，
cos＜

AE

，

n

＞=

AE • n

|AE |•| n |

=

3

3

即所求二面角D-BE-C的余弦值為

3

3

..

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了長(zhǎng)方體的特征，還考查了線面垂直的判定定理，此外還考查了建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量的知識(shí)求二面角的大小．