Question

如圖，已知直線

l

1

：y=2x+m(m＜0)與拋物線C1：y=ax2(a＞0)和圓C2：x2+(y+1)2=5都相切，F(xiàn)是C₁的焦點(diǎn)．
（1）求m與a的值；
（2）設(shè)A是C₁上的一動點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作拋物線C₁的切線，直線交y軸于點(diǎn)B，以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點(diǎn)M在一條定直線上；
（3）在（2）的條件下，記點(diǎn)M所在的定直線為l₂，直線l₂與y軸交點(diǎn)為N，連接MF交拋物線C₁于P，Q兩點(diǎn)，求△NPQ的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用圓心到直線的距離等于半徑求出m，再利用導(dǎo)函數(shù)與切線的關(guān)系求出a的值即可；
（2）先求出以A為切點(diǎn)的切線l的方程以及點(diǎn)A，B的表達(dá)式，再利用以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，結(jié)合向量運(yùn)算即可求出點(diǎn)M所在的定直線；
（3）設(shè)直線MF的方程代入拋物線方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及三角形面積公式得出面積的表達(dá)式，從而可求△NPQ的面積S的取值范圍．

解答：（1）解：由已知，圓C₂：x²+（y+1）²=5的圓心為C₂（0，-1），半徑為

5

由題設(shè)圓心到直線l₁：y=2x+m的距離d=

|1+m|

5

=

5

，解得m=-6（m=4舍去）．
設(shè)l₁與拋物線的相切點(diǎn)為A₀（x₀，y₀），又y′=2ax，∴2ax₀=2
∴x₀=

1

a

，y₀=

1

a

，代入直線方程得：

1

a

=

2

a

-6，∴a=

1

6

∴m=-6，a=

1

6

；
（2）證明：由（1）知拋物線C₁方程為y=

1

6

x2，焦點(diǎn) F（0，

3

2

）
設(shè) A（x₁，

1

6

x

2 1

），由（1）知以A為切點(diǎn)的切線l的方程為y=

1

3

x1(x-x1)+

1

6

x

2 1

令x=0，得切線l交y軸的B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

1

6

x

2 1

）
∴

FA

=（x1，

1

6

x

2 1

-

3

2

），

FB

=（0，-x1，

1

6

x

2 1

-

3

2

）
∵以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，
∴

FM

=

FA

+

FB

=（x₁，-3）
∵F是定點(diǎn)，∴點(diǎn)M在定直線y=-

3

2

上；
（3）解：直線MF：y=kx+

3

2

，代入y=

1

6

x2得

1

6

x2-kx-

3

2

=0
∴x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9．
∴S_△NPQ=

1

2

|NF||x₁-x₂|=

1

2

×3×

(x1+x2)2-4x1x2

=9

1+k2

∵k≠0，∴S_△NPQ＞9，
∴NPQ的面積S的取值范圍（9，+∞）．

點(diǎn)評：本題綜合考查圓與橢圓知識，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．