Question

【題目】已知橢圓+y2=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=mx+對(duì)稱.

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

Answer 1

【答案】(1)m<-或m>.(2)

【解析】試題分析：（1）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程消去，設(shè)，可得，設(shè)線段的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及其根與系數(shù)的可得，代入直線，可得，代入，即可解出 的范圍；（2）結(jié)合（1）， 換元后根據(jù)韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式，利用三角形面積公式，將三角形面積用 表示，再利用二次函數(shù)配方法即可得出三角形面積的最大值.

試題解析： (1) 由題意知m≠0,

可設(shè)直線AB的方程為y=-x+b.

由 消去y,得 + x2- x+b2-1=0.

因?yàn)橹本�y=- x+b與橢圓+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn), 所以Δ=-2b2+2+ >0,①

將線段AB中點(diǎn)M（, ）代入直線方程y=mx+,解得b=-.②

由①②得m<-或m>.

(2)令t=∈（-,0）∪（0, ）,

則|AB|=·,

且O到直線AB的距離為d=.

設(shè)△AOB的面積為S(t),

所以S(t)= |AB|·d=≤.

當(dāng)且僅當(dāng)t2=時(shí),等號(hào)成立.

故△AOB面積的最大值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用配方法法求三角形面積最值的.