Question

已知函數(shù)f（x）=x^-1e^x的定義域是（0，+∞）．
（1）求函數(shù)f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）?x∈（0，+∞），不等式xf（x）＞-x²+λx-1恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1），∴．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，∴f（x）在（0，1]上遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，∴f（x）在[1，+∞）上遞增．
∴當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在[m，m+1]上遞增，；
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）在[m，1]上遞減，在[1，m+1]上遞增，f（x）_min=f（1）=e．
∴．
（2）?x＞0，e^x＞-x²+λx-1恒成立，即恒成立．
由（1）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
又，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，有．
∴λ＜e+2．
分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義域，可知當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）在（0，1]上遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）在[1，+∞）上遞增．從而可確定函數(shù)f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）利用分離參數(shù)法，問題可轉(zhuǎn)化為?x＞0，恒成立．由于，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，從而可知當(dāng)x=1時(shí)，有，故可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查基本不等式的運(yùn)用，考查恒成立問題的處理．