Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{3}sinθ$．
（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知直線l與x軸的交點(diǎn)為P，與曲線C的交點(diǎn)為A，B，若AB的中點(diǎn)為D，求|PD|的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程化為${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方．
（2）P的坐標(biāo)為$（\sqrt{3}，0）$，將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得：${t^2}-（3+\sqrt{3}）t+3=0$，由此能求出|PD|的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，
∴${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，
∴x²+y²=2$\sqrt{3}y$，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為${x^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=3$．
（2）P的坐標(biāo)為$（\sqrt{3}，0）$，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得：${t^2}-（3+\sqrt{3}）t+3=0$，
設(shè)點(diǎn)A，B，D對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，t₃，
則${t_1}+{t_2}=3+\sqrt{3}$，t₁t₂=3，
$|PD|=|{t_3}|=|\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}|=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$，
∴|PD|的長(zhǎng)為$\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化公式的合理運(yùn)用．