Question

已知{a_n}是首項為1，且滿足a_n+1=a_n+2，S_n表示{a_n}的前n項和．
（1）求a_n及S_n；
（2）設{b_n}是首項為2的等比數列，公比q滿足q²-（a₄+1）q+S₄=0，求{b_n}的通項公式及其前n項和T_n．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由題意判斷數列是等差數列，然后求a_n及S_n；
（2）通過q²-（a₄+1）q+S₄=0，求出等比數列的公比，然后求{b_n}的通項公式及其前n項和T_n．

解答： 解：（1）因為{a_n}是首項a₁=1，公差d=2的等差數列，所以
a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
故S_n=1+3+…+（2n-1）=

n(a1+an)

2

=

n(1+2n-1)

2

=n²．…（6分）

（2）由（1）得a₄=7，S₄=16．因為q²-（a₄+1）q+S₄=0，即q²-8q+16=0，
所以（q-4）²=0，從而q=4．
又因為b₁=2，{b_n}是公比q=4的等比數列，
所以b_n=b₁q^n-1=2×4^n-1=2^2n-1．
從而{b_n}的前n項和T_n=

b1(1-qn)

1-q

=

2

3

（4ⁿ-1）．…（12分）

點評：本題考查等差數列以及等比數列的應用，基本知識的考查．