Question

（1）已知冪函數(shù)y=x^m-2（x∈N）的圖象與x，y軸都無交點，且關于y軸對稱，求函數(shù)解析式．
（2）已知函數(shù)y=

4

15-2x-x2

．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和奇偶性．

Answer 1

分析：（1）有冪函數(shù)的性質(zhì)判斷出冪函數(shù)的指數(shù)小于或等于0；指數(shù)為偶數(shù)．列出不等式求出m；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，求出f（-x）的表達式并判斷f（-x）與f（x）的關系，即可判斷f（x）的奇偶性；函數(shù)為復合函數(shù)，據(jù)符號函數(shù)的單調(diào)性同增異減，外函數(shù)是減函數(shù)，求出內(nèi)函數(shù)的遞增區(qū)間為函數(shù)的遞減區(qū)間；內(nèi)函數(shù)的遞減區(qū)間為函數(shù)的遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵冪函數(shù)y=x^m-2（m∈N）的圖象與x軸，y軸都無交點，
∴m-2≤0，解得m≤2，又m∈N
∴m=0或m=1或m=2，又關于y軸對稱，
∴m=0或m=2，
∴f（x）=x^-2或f（x）=x⁰=1（x≠0）；
（2）由15-2x-x²≥0得函數(shù)的定義域為[-5，3]，函數(shù)的定義域關于原點不對稱，
∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．又對稱軸為x=1，
∴x∈[-5，1]時，t隨x的增大而增大；x∈（1，3）時，t隨x的增大而減�。�
又∵函數(shù)y=

4	t

在t∈[0，16]時，y隨t的增大而增大，
∴函數(shù)y=

4	15-2x-x2

的單調(diào)增區(qū)間為[-5，1]，單調(diào)減區(qū)間為（1，3）．

點評：本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)與冪指數(shù)的取值范圍有關、考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)圖象與性質(zhì)的關系及判斷方法是解答本題的關鍵．