Question

平面上有兩點A（-1，0），B（1，0），點P為圓上（x-1）²+（y-1）²=8任意一點，求|AP|²+|BP|²的最小值，并求出此時點P的坐標．

Answer 1

分析：將圓的方程化為參數方程，根據參數方程設出P的坐標為（1+2

2

cosθ，1+2

2

sinθ），再由A和B的坐標，利用兩點間的距離公式表示出所求的式子，利用完全平方公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由正弦函數的值域即可得出所求式子的最小值，以及此時θ的度數，即可確定出此時P的坐標．

解答：解：圓（x-1）²+（y-1）²=8的參數方程是

x=1+2 2 cosθ y=1+2 2 sinθ

（θ為參數），
設點P的坐標為（1+2

2

cosθ，1+2

2

sinθ），
∵A（-1，0），B（1，0），
則|AP|²+|BP|²=（2+2

2

cosθ）²+（1+2

2

sinθ）²+（2

2

cosθ）²+（1+2

2

sinθ）²
=22+8

2

cosθ+8

2

sinθ=22+16sin（θ+

π

4

），
所以當sin（θ+

π

4

）=-1時，|AP|²+|BP|²取得最小值為6，
此時可取θ=

5π

4

，則點P的坐標為P（-1，-1）．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，圓的參數方程，同角三角函數間的基本關系，正弦函數的定義域與值域，以及兩點間的距離公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．