(2009•閘北區(qū)二模)和平面解析幾何的觀點(diǎn)相同,在空間中,空間曲面可以看作是適合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.一般來(lái)說(shuō),在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,空間曲面的方程是一個(gè)三元方程F(x,y,z)=0.
(Ⅰ)在直角坐標(biāo)系O-xyz中,求到定點(diǎn)M0(0,2,-1)的距離為3的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡(球面)方程;
(Ⅱ)如圖,設(shè)空間有一定點(diǎn)F到一定平面α的距離為常數(shù)p>0,即|FM|=2,定義曲面C為到定點(diǎn)F與到定平面α的距離相等(|PF|=|PN|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡,試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O-xyz,求曲面C的方程;  
(Ⅲ)請(qǐng)類(lèi)比平面解析幾何中對(duì)二次曲線(xiàn)的研究,討論曲面C的幾何性質(zhì).并在圖中通過(guò)畫(huà)出曲面C與各坐標(biāo)平面的交線(xiàn)(如果存在)或與坐標(biāo)平面平行的平面的交線(xiàn)(如果必要)表示曲面C的大致圖形.畫(huà)交線(xiàn)時(shí),請(qǐng)用虛線(xiàn)表示被曲面C自身遮擋部分.
分析:(I)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PM0|=3,根據(jù)空間兩點(diǎn)的距離公式建立等式關(guān)系,化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)P的軌跡方程;
(II)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y,z),則|PF|=|PN|,根據(jù)根據(jù)空間兩點(diǎn)的距離公式建立等式關(guān)系,化簡(jiǎn)即可得到曲面C的方程;
(III)先研究曲面C的對(duì)稱(chēng)性,范圍和頂點(diǎn)等性質(zhì),然后根據(jù)曲面的性質(zhì)畫(huà)出圖形即可.
解答:解:(Ⅰ)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M0為原點(diǎn),以3為半徑的球面
并設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PM0|=3.
則球面的方程為x2+(y-2)2+(z+1)2=9.
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y,z),則|PF|=|PN|
所以
x2+y2+(z-
p
2
)
2
=|z+
p
2
|

整理得曲面C的方程:x2+y2=2pz      (*)
若坐標(biāo)系原點(diǎn)建在平面α上的點(diǎn)M處,可得曲面C的方程:x2+y2=2p(z-
p
2
)
同樣得分.
(Ⅲ)(1)對(duì)稱(chēng)性:由于P(x,y,z)點(diǎn)關(guān)于xOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(x,-y,z)、關(guān)于yOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(-x,y,z)均滿(mǎn)足方程(*),所以曲面C關(guān)于xOz平面與yOz平面對(duì)稱(chēng).
又由于P(x,y,z)點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(-x,-y,z)滿(mǎn)足方程(*),所以曲面C關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng).
(2)范圍:由于x2+y2≥0,所以,z≥0,即曲面C在xOy平面上方.
(3)頂點(diǎn):令z=0,得x=y=0,即坐標(biāo)原點(diǎn)在曲面C上,O點(diǎn)是曲面C的頂點(diǎn).  
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了空間兩點(diǎn)的距離公式,以及空間點(diǎn)的軌跡問(wèn)題和研究曲面性質(zhì)畫(huà)圖,屬于中檔題.
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