Question

7．已知下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=2^x滿足：對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂都有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$；
②函數(shù)$f（x）={log_2}（x+\sqrt{1+{x^2}}）$，g（x）=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$不都是奇函數(shù)；
③若函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=-f（x+1），且f（1）=2，則f（7）=-2
④設(shè)x₁，x₂是關(guān)于x的方程|log_ax|=k（a＞0且a≠1）的兩根，則x₁x₂=1．
其中正確命題的序號是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①，f（x）=2^x的圖象向下凸，由函數(shù)的凹凸性可判定；
，函數(shù)$f（x）={log_2}（x+\sqrt{1+{x^2}}）$滿足f（x）+f（-x）=0，g（x）=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$滿足g（x）+g（-x）=0，都是奇函數(shù)；
③，若函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=-f（x+1）⇒f（x）=-f（x+2⇒T=4，則f（7）=f（-1）=-f（1）=-2；
④，由log_ax₁+log_ax₂=0⇒x₁x₂=1；

解答 解：對于①，f（x）=2^x的圖象向下凸，由函數(shù)的凹凸性可判定，對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂都有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，故正確；
對于②，函數(shù)$f（x）={log_2}（x+\sqrt{1+{x^2}}）$滿足f（x）+f（-x）=0，g（x）=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$滿足g（x）+g（-x）=0，都是奇函數(shù)，故錯(cuò)；
對于③，若函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=-f（x+1）⇒f（x）=-f（x+2⇒T=4，則f（7）=f（-1）=-f（1）=-2，故正確；
對于④，設(shè)x₁，x₂是關(guān)于x的方程|log_ax|=k（a＞0且a≠1）的兩根，則log_ax₁+log_ax₂=0，x₁x₂=1，故正確；
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了命題真假的怕買到，涉及了函數(shù)的概念及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．