Question

已知F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，曲線C是以坐標原點為頂點，以F₂為焦點的拋物線，自點F₁引直線交曲線C于P、Q兩個不同的點，點P關于x軸對稱的點記為M，設．

(1)寫出曲線C的方程；

(2)若，試用λ表示u；

(3)若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)拋物線的方程是y2＝4x　2分 　　(2)設P(x1，y1)，∵(x2，y2)，M(x1，－y1) 　　∵，∴ 　　∴y12＝λ2y22，又y12＝4x1，y22＝4x2， 　　∴x1＝λ2x2代入①得λ2x2＋1＝λx2＋λ 　　∴λx2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1　∴　5分 　　則＝(x1―1，―y1)＝(λ―1，―λy2)＝―λ(―1，y2) 　�。剑�(x2―1，y2)＝－λ 　　即，故u＝－λ　7分 　　(3)由③、④知x1x2＝1，∴y12y22＝16x1x2＝16，又y1y2＞0， 　　∴y1y2＝4　9分 　　∴|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝x12＋x22＋y12＋y22－2(x1x2＋y1y2) 　�。溅�2＋＋4(λ＋)－10＝(λ＋)2＋4(λ＋)－12 　�。�(λ＋＋2)2－16 　　又2≤λ≤3，∴≤λ＋≤ 　　∴≤|PQ|2≤ 　　所以≤|PQ|≤　12分