Question

【題目】已知數(shù)列與滿足：，且為正項(xiàng)等比數(shù)列，，.

（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由a1+a2+a3+…+an＝2bn①，n≥2時(shí)，a1+a2+a3+…+an﹣1＝2bn﹣1②，①﹣②可得：an＝2（bn﹣bn﹣1）（n≥2），{an}公比為q，求出an，然后求解bn；（2）化簡(jiǎn)（n∈N*），利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和即可．

（1）由a1+a2+a3+…+an＝2bn①

n≥2時(shí)，a1+a2+a3+…+an﹣1＝2bn﹣1②

①﹣②可得：an＝2（bn﹣bn﹣1）（n≥2），

∴a3＝2（b3﹣b2）＝8

∵a1＝2，an＞0，設(shè){an}公比為q，

∴a1q2＝8，∴q＝2

∴an＝2×2n﹣1＝2n

∴，

∴bn＝2n﹣1．

（2）證明：由已知：．

∴