Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿(mǎn)足，且對(duì)任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若數(shù)列{c_n}滿(mǎn)足，試求{c_n}的通項(xiàng)公式并判斷：是否存在正整數(shù)M，使得對(duì)任意n∈N^*，c_n≤c_M恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知利用賦值，取m=1，可得數(shù)列{a_n}，{b_n}分別為等比，等差數(shù)列．結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（2）由（1）可得，a_nb_n=，考慮利用錯(cuò)誤相減可求數(shù)列的和
（3）由，可得，由．可得數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列，從而可判斷
解答：解：（1）由已知，對(duì)任意m，n∈N^*，
有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
取m=1，得．
所以數(shù)列{a_n}，{b_n}分別為等比，等差數(shù)列．
∴
…（4分）
（2）
=
兩式相減，=-[]
并化簡(jiǎn)得．…（8分）
（3）由，
得．…（10分）
∵．
∴數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列，c_n的最大值為c₁．
故存在M=1，使得對(duì)任意n∈N^*，c_n≤c₁恒成立…
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和是數(shù)列求和的重點(diǎn)與難點(diǎn)，而利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大項(xiàng)的求解的方法要注意掌握體會(huì)