設函數(shù)

（Ⅰ）當時，求的展開式中二項式系數(shù)最大的項；

（Ⅱ）對任意的實數(shù)，證明 :（是的導函數(shù)）；

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】本試題主要考查了二項式定理的運用，以及二項式系數(shù)的最大項的問題，和運用函數(shù)的思想解決不等式的恒成立問題的綜合運用。

(1)中，根據(jù)二項式系數(shù)的性質可知，二項式系數(shù)的最大項取決于冪指數(shù)為奇數(shù)還是偶數(shù)來得到

（2）中利用均值不等式的思想，表示出

和放縮法的思想得到

（Ⅰ）解：展開式中二項式系數(shù)最大的項是第3項，這項是

（Ⅱ）證法一：因

證法二：

因

而

故只需對和進行比較。

令，有  由，得

因為當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以在處有極小值故當時，，

從而有，亦即故有恒成立。

所以，原不等式成立。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)

（1）當時，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學 來源：2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學卷（海南） 題型：解答題

（本小題滿分12分）
設函數(shù).
（Ⅰ）若當時取得極值，求a的值，并討論的單調性；
（Ⅱ）若存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于.
請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時請寫清題號。

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年北京高考模擬系列試卷理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

設函數(shù)

（I）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（II）令＜≤，其圖像上任意一點P處切線的斜率≤恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（III）當時，方程在區(qū)間內有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年寧夏高三第五次月考數(shù)學理卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

設函數(shù)

（1）當時，求的最大值；

（2）令，（0≤3），其圖象上任意一點處切線的斜率≤恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當，，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年遼寧省東北育才學校高二下學期期中考試文科數(shù)學 題型：解答題

(本小題滿分12分）

設函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）若函數(shù)的定義域為，試求實數(shù)的取值范圍．

 

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