已知函數(shù)f（x）=ax3-x2+ln（x+1）（a∈R），在x=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)3x-2y+5=0平行．
（1）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）求證：數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式+…+數(shù)學(xué)公式＜ln（n+1）（n≥2且n∈N）．

解：（1）由已知f′（x）=3ax2-2x+
∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)3x-2y+5=0平行
∴f′（1）=3a-2+=
∴a=1
∴f（x）=x3-x2+ln（x+1），f′（x）=3x2-2x+＞0 （x≥0）
∴f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴[f（x）]min=f（0）=0
（2）令x=．（n∈N*） 則：f（）＞0
∴-+ln（1+）＞0
即：＜ln（1+）
∴＜ln（1+），，…，＜ln（1+）
∴++…+＜ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）=ln（•…）=ln＜ln（n+1）
∴不等式成立．
分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a的值，最后證明函數(shù)當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求函數(shù)最值；（2）利用（1）中的結(jié)論，即f（x）在[0，+∞）上恒大于或等于零，結(jié)合所證不等式的形式，只需設(shè)x=，即可構(gòu)造兩個(gè)具有不等關(guān)系的數(shù)列，分別求和即可證明所證不等式
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)與數(shù)列的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求函數(shù)最值得方法，利用函數(shù)不等式證明數(shù)列不等式的方法．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當(dāng)a∈[-2，
1
4
)時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率，否存在實(shí)數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過(guò)原點(diǎn)，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a•2x+b•3x，其中常數(shù)a，b滿(mǎn)足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時(shí)的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當(dāng)a＜0時(shí)，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號(hào)是
 
．

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