Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，F(xiàn)是CE上一點，BF⊥平面ACE，點M，N分別是CE，DE的中點．
（1）求證：MN∥平面ABE；
（2）若BE=4，BC=3，AE=BE，求DE與面BCE所成角的余弦．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由中位線定理和線面平行的判定定理，即可證得；
（2）運用線面垂直的性質(zhì)和判定，證得AE⊥平面BCE，從而AE⊥BE，求出AB，在△ABE內(nèi)，過E作AB的垂線EH，垂足為H，證得EH⊥平面ABCD，設(shè)D到平面BCE的距離為d，射影為K，則由體積相等，得V_D-BCE=V_E-BCD，求出d=4，
由∠DEK為DE與面BCE所成角，以及三角函數(shù)的余弦即可得到．

解答： （1）證明：∵點M，N分別是CE，DE的中點．
∴MN∥CD，
∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∴MN∥AB，
∵MN?平面ABE，AB?平面ABE，
∴MN∥平面ABE；
（2）解：∵BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
又BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，
∵AE=BE=4，∴AB=4

2

，
在△ABE內(nèi)，過E作AB的垂線EH，垂足為H，則EH=2

2

，
∵BC⊥平面ABE，∴BC⊥EH，
∴EH⊥平面ABCD，
設(shè)D到平面BCE的距離為d，射影為K，則由體積相等，得
V_D-BCE=V_E-BCD，即有

1

3

d•S_△BCE=

1

3

•EH•S_△BCD，
d•12=2

2

•12

2

，則d=4．
∵AD∥BC，∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE，
∴ED=5，
∵∠DEK為DE與面BCE所成角，
EK=

25-16

=3，
∴DE與面BCE所成角的余弦為

3

5

．

點評：本題考查直線與平面的位置關(guān)系：平行和垂直，考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì)，同時考查線面角的求法，考查基本的運算能力，屬于中檔題．