已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）
（1）若方程f（x）=0無實(shí)根，求證：b＞0；
（2）若方程f（x）=0有兩個(gè)實(shí)根，且兩實(shí)根是相鄰的兩個(gè)整數(shù)，求證：f（-a）=數(shù)學(xué)公式（a2-1）．

解：（1）若方程f（x）=0無實(shí)根，則△=a2-4b＜0，b＞，∴b＞0．
（2）證明：設(shè)f（x）=（x-m）（x-m-1），m∈Z，
則由一元二次方程個(gè)與系數(shù)的關(guān)系可得 2m+1=-a，m（m+1）=b，故b=（a2-1），
所以f（-a）=b=（a2-1）．
分析：（1）只需要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程的根的問題即可解答．
（2）充分利用函數(shù)與方程的思想，在對(duì)應(yīng)方程當(dāng)中利用韋達(dá)定理即可解答．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了零點(diǎn)概念、代數(shù)恒等變形、含參數(shù)的二次函數(shù)等知識(shí)，是對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)比較綜合和深刻的考查．在解答過程當(dāng)中問題轉(zhuǎn)化的能力以及數(shù)形結(jié)合的思想得到了淋漓盡致的考查，值得同學(xué)們體會(huì)反思，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長(zhǎng)度為12-t？請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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